Om een oud topic op te rakelen. De afgelopen week heb ik me met dit toch wel uitdagende probleem beziggehouden. Wiskundig kun je hele interessante sommen maken met de kettinglijn, maar je raakt als relatieve leek al snel verstrikt in de vele ingewikkelde formules met hyperbolische functies. Gelukkig hebben de wiskundigen ook benaderingen uitgezocht die het leven eenvoudiger maken. De kettinglijn blijkt voor kleine zeegwaarden heel goed te benaderen door een parabool. In de rapporten van Kema die voor de nieuwe 380 kV-lijnen in Zuidwest- en Noordwest Nederland geleiderberekeningen heeft gemaakt, kom je vaak de term “trekparameter” tegen. Dat is een getal dat iets zegt over de zeeg (doorhang). De zeeg neemt kwadratisch toe met de overspanning. Het getal trekparameter P geeft het verband aan.
- f1.jpg (1.21 KiB) 10738 keer bekeken
Met “f”de zeeg en “L” de overspanning. Uit de rapporten valt op te maken dat de trekparameter “P” 1800 m bedraagt. Bij een overspanning van 360 meter is de zeeg dan precies 9,0 meter, bij 450 m is de zeeg 14,1 m. Dat klopt aardig met wat we zien. Volgens de bronnen varieert de parameter P tussen de circa 1200 m en 2000 m.
De parameter geldt voor een temperatuur van 10°. Blijkbaar heeft de temperatuur een bepaalde invloed. Logisch, want het is bekend en ook hierboven beschreven dat de kabels bij hogere temperatuur meer doorhangen. Maar hoeveel meer, dat is lastig te berekenen, omdat er geen eenvoudig verband is als gevolg van de gekromde bijna-parabolische vorm.
Er is nog een tweede aspect dat het moeilijker maakt. Als de zeeg verandert, dan zal ook de trekspanning in de geleider veranderen. Daardoor zal er een lengteverandering optreden, die dus ook invloed heeft op de uiteindelijke zeeg. Deze beide aspecten temperatuur en elastische verkorting moeten in acht genomen worden bij de berekening. We gaan een poging doen. Er is een afstudeerverslag te vinden van de TU/e waarin een en ander helder uitgelegd staat. Nadat ik al wat moeizame stappen had gemaakt, heb ik de aanpak en notatie uit dat verslag overgenomen. Het is te vinden door te googlen op “thesis JPA Leenders Essent”
Als eerste is er een tamelijk eenvoudige benaderingsformule tussen de lengte van een parabool afhankelijk van lengte en zeeg.
- f2.jpg (2.23 KiB) 10738 keer bekeken
Als we deze formule invullen voor 360 meter en 9 m zeeg, dan blijkt de lengte 360,58 m te zijn. Verassend weinig meer misschien wel als je het vergelijkt met 360 m, maar 0,16%. Nu het verband tussen lengte(verschil) en zeeg bekend is, zou af te leiden kunnen worden wat de nieuwe zeeg wordt bij een gegeven lengteverandering.
- f3.jpg (2.6 KiB) 10738 keer bekeken
Met a de thermische uitzettingscoëfficiënt van het materiaal. Voor aluminium is dat 2,3 x 10-5, voor staal 1,2 x 10-5.
Ingevuld voor 20° temperatuursverschil blijkt de lengteverandering bij 360 meter 0,16 meter te zijn voor aluminium. Dat is ten opzichte van de 0,58 m lengte dat de doorhang bepaalt natuurlijk substantieel. Zeker als je bedenkt dat de temperatuursverschillen nog veel groter kunnen zijn. De 0,58 meter zouden we zelfs kunnen bereiken door 0,58 / 0,16 x 20 =72 graden af te koelen. Theoretisch is de kabel dan een rechte lijn geworden zonder doorhang.. In de praktijk gebeurt dat natuurlijk niet, de kabel zal dan elastisch uitrekken zodat de verkorting door de temperatuur niet zal optreden. Daar gaan we nu op in. Er is een relatief eenvoudige relatie tussen elastische rek en lengteverandering, waarbij nu ook de trekbelasting in de kabel om de hoek komt kijken.
- f3a.jpg (2.08 KiB) 10738 keer bekeken
Met H de trekkracht in de kabel en EA de rekstijfheid, wat het product is van de kabeldoorsnede en de elasticiteitsmodulus.
De trekkracht H laat zich eenvoudig uit de trekparameter en het gewicht per strekkende meter “q” berekenen:
- f4.jpg (989 Bytes) 10738 keer bekeken
Of als we de trekparameter vervangen door de zeeg:
- f5.jpg (1.45 KiB) 10738 keer bekeken
Een vierbundel AMS620 inclusief afstandhouders weegt circa 76 Newton (7,6 kilo) per meter, de trekkracht is dan 1800 x 76 x 10-3 = 136 kN (13,6 ton). Dat strookt heel aardig met de waarde die we in de rapporten terugvinden (128 kN).
Nu is het handig om de formule voor de lengte van een parabool anders te noteren dat we de zeeg kunnen afleiden uit de lengteverandering.
- f6.jpg (2.49 KiB) 10738 keer bekeken
Met L1 de lengte van de parabool en L de overspanning.
Er ontstaat dan de moeilijkheid dat met bovenstaande formules er een derdegraadsfunctie resulteert die niet eenvoudig wiskundig is op te lossen
. Een mogelijke aanpak is dan om een iteratieve berekening te maken waarbij je steeds een aantal berekeningsstappen invult. Kort gezegd zijn dat de volgende stappen:
Bepaal de startwaarde van paraboollengte, trekkracht en zeeg;
Bepaal de lengteverandering door de temperatuurverandering;
Bereken een nieuwe zeeg uit de nieuwe lengte van de kabel;
Bereken met de nieuwe zeeg een nieuwe trekbelasting;
Bepaal de lengteverandering door de verandering in trekbelasting;
Bereken met die lengteverandering een nieuwe zeeg;
Ga terug naar stap 4. Ga door totdat er evenwicht is in het proces en de nieuwe belasting gelijk is aan de belasting in de vorige stap.
Deze stappen zijn in een spreadsheet in te voeren en dan kun je voor een aantal overspanningen de doorhang of zeeg berekenen bij een aantal verschillende temperaturen. Die berekeningen heb ik nu gedaan en de resultaten zijn te presenteren in onderstaande grafiek
.
- Zeeggrafiek.jpg (80.21 KiB) 10738 keer bekeken
Uit deze grafiek blijkt als eerste dat er een behoorlijk rechtlijnig verband blijkt te bestaan tussen zeeg en temperatuur. Misschien bij ingewijden wel bekend, maar voor mij behoorlijk verrassend. De verandering in zeeg varieert in het beschouwde temperatuurgebied tussen -20° en +50° tussen ongeveer 2 meter bij 250 meter overspanning en 4 meter bij 500 meter. In absolute zin verandert de zeeg dus niet heel veel anders bij verschillende overspanning, relatief gezien natuurlijk wel, want bij de kleine overspanning heeft de temperatuur (of andere belasting als ijs en sneeuw) dus veel invloed op de zeeg, waar dat bij de grote overspanning veel minder is.
Bij de masten in Hans zijn achtertuin, Zwolle-Meeden zal een zeegverandering dus vanwege de overspanning die richting de 500 meter gaat niet zo snel opvallen, hoewel goed meetbaar. Bij masten met korte overspanningen zoals de wintrack’s bij Spaarnwoude zou een zeegverandering meer op moeten vallen. De waarde van 250 meter en -20° ontbreekt, hier sloeg het iteratieproces op tilt omdat er een lengteverandering optrad die zorgde voor een kortere lengte dan de overspanning. Daaruit blijkt dat er dus risico’s (sterk variërende grootte van trekspanning) zijn bij hele strakke geleiders bij kleine overspanningen. Een grafiek waarin de trekbelasting is uitgezet tegen de temperatuur geeft ook interessante inzichten:
- Belastinggrafiek.jpg (81.68 KiB) 10738 keer bekeken
Hieruit blijkt dat bij de grote overspanning maar weinig fluctuatie is in de trekbelasting bij verschillende temperaturen. Die kabels hangen mooi stabiel in hun zeegvorm. De kleine overspanningen zijn wispelturiger, althans bij deze trekparameter. Duidelijk is dat bij -20° en 250 meter de kracht in de geleider zeer hoog zou oplopen. Bij 10° zijn alle belastingen gelijk. Bij kleinere overspanningen, zoals bij lijnen voor lage spanningen zal de trekparameter in de orde 1200 zijn en zal de kracht weer minder variëren, echter wel ten koste van meer zeeg.
Nog een noot is dat bij deze berekening er geen andere belastingen als wind en ijs inwerken en er ook geen veiligheidsfactoren zijn meegenomen. Het resultaat verklaart wel goed waarom deze belastingen beschouwd worden in combinatie met lage temperatuur, want dan treden de hoogste krachten op. Een ander ding is dat in werkelijkheid ook de doorbuiging van de masten een rol speelt, omdat de lengteverandering van de kabels in dezelfde orde van grootte zit als de doorbuiging van de masten, zeker bij buismasten. Ik hoop dat met deze grafieken we een stuk inzicht hebben gekregen in de werking van de kabels.